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第二十章 問答

更新時間:2020-06-20  作者:幸運的球球
龐紹安和姚建中面面相覷,即使龐紹安知道自己孫子不是那種滿嘴跑火車的人,可BSD猜想的地位在那兒,這種級別的難題,被一個23歲的年輕人給證出來了,想想就有種魔幻現實主義的感覺。

一時間,小院陷入了一種詭異的寂靜之中。

“小林,你怎么杵在院子里呢,來,幫奶奶擇菜。”

奶奶王秀芳從屋子里走了出來,見眾人一臉呆滯的模樣,不由得出聲道。

“還擇什么菜,小林,走,我們去書房,你論文帶了嗎?我要先看看。“

龐學林微笑道:“爺爺,論文我已經上傳到arXiv了,郵箱里也有,可以直接下載。”

“我也去!”

姚建中也跟著起身道。

“你們這是怎么了?”

王秀芳看著迫不及待的龐紹安和姚建中,有些不解道。

來到書房,龐學林登上郵箱,將論文直接下載下來,交給龐紹安審閱。

姚建中則坐在一旁,不時瞅瞅龐紹安和龐學林。

他是理論物理學家,BSD猜想這種級別的數學論文,他自然看不懂,不過這并不妨礙他在一旁看熱鬧。

之前他老伴想把自己的寶貝孫女介紹給龐學林,他還有些微詞。

在他看來,龐學林太過于專注學術,性子雖然不算木訥,但也不是那種特別多話的人,自己孫女活潑好動,和他在一起,兩人未必能合得來。

但現在,龐學林的表現卻讓他刮目相看。

如果龐學林真的證明出了BSD猜想,那三年后龐學林必得菲爾茲獎。

二十六歲的菲爾茲獎得主,應該是破紀錄了,這樣一位學者,未來的成就幾乎不可限量。

自己的孫女雖然是北舞的一枝花,但從某種程度上說,還真不一定配得上龐學林。

龐學林和龐紹安自然不知道姚建中亂七八糟的想法,此時,龐紹安所有的心思都沉浸在龐學林的論文之中,一頁一頁慢慢翻看。

龐紹安主要研究領域是微分幾何與拓撲學,因此,這篇BSD猜想的證明論文對他而言有些吃力。

大概看了半小時,龐紹安便摘下老花鏡,搖頭道:“老了老了,小林,你這篇論文,說實話爺爺我有些跟不上了,不過我大概還是看懂了你的證明思路,你是從同余數問題著手的,對吧?”

龐學林點了點頭,豎起了大拇指道:“爺爺你果然慧眼如炬!”

龐紹安擺了擺手道:“臭小子,出國讀了幾年書,倒是學會拍馬屁了,我是不行了,待會兒等小劉過來,讓他看看,他在數論與代數幾何領域都有很深的研究,他應該能看明白。“

姚建中笑道:”老龐,沒想到你也有搞不定的時候。”

龐紹安瞪著眼道:“也就是我現在年紀大了,要是放在年輕的時候,我啃上幾個月,肯定能把這篇論文搞明白。”

“哼,你就臭屁吧!”

姚建中不屑道。

這兩位老頭互懟是常態,龐學林笑瞇瞇的看著,也不參與。

沒過一會兒,王秀芳帶著一個腦袋有些禿頂,戴著眼鏡的中年男子走了進來。

來人正是江城大學數學科學學院院長劉廷波。

劉廷波笑道:“龐教授,姚教授,你們好。”

接著,他將目光轉向龐學林,說道:“小龐,你這回在數學界放了顆原子彈啊!”

龐學林有些好奇道:“劉院長,我今天凌晨才把論文上傳到arXiv,你們怎么這么快就知道了?”

劉廷波道:“還不是托你那位老師的福,陶哲軒看完你的論文后,第一時間聯系了德利涅、法爾廷斯、丘成桐這些大佬,說你很有可能解決了BSD猜想的問題,然后把論文分享給了他們。也不知怎么回事,這本來是小圈子里的事,結果一下子給傳出去了,現在整個數學界都沸騰了。邱教授沒有你的聯系方式,直接把電話打到我頭上,我還一臉懵著呢!我說你這次,該不會是給我放衛星吧?”

龐學林微笑道:“劉院長,論文在這呢,要不你先看看?”

龐紹安也跟著說道:“小劉,你是代數幾何與數論領域的專家,正好給小林把把關!”

劉廷波苦笑道:“龐教授,把關我可不敢當,小龐要是真解決了BSD猜想,都可以當我老師了!”

話雖然這樣說,劉廷波還是坐在了電腦前,仔細看了起來。

一邊看,他一邊還時不時就論文中的一些疑問和龐學林做交流。

“小龐,這里假定D無平方因子,簡單的初等考量顯示D為同余數等價于橢圓曲線E_D: y^2=x^3-D^2x上有某個y \neq 0的有理點。可以證明這樣的點不屬于T,于是D為同余數又等價于r_D0。(同余數問題)決定所有同余數D,使得r_D0。對于給定素數p,(1)p \equiv 3(\mod 8):p不是同余數但2 p是同余數;(2)p \equiv 5(\mod 8):p是同余數;(3)p \equiv 7(\mod 8):p和2 p都是同余數。你使用的工具是Heegner點的高度理論,你是怎么將它和L'(1,E)聯系起來的?還有,你是如何確定D均為同余數的?“

龐學林在三體世界的時候便經受住了那些頂尖數學家的狂轟亂炸,對付這種問題應付起來輕松異常,對答如流道:”關于E的Weil-Hasse函數L(s,E)的定義,一個經典結果是a_p有Hasse上界2\sqrt{p},這推出L(s,E)對\mathrm{Re}\, s\frac{3}{2}收斂。然后我們根據Gross-Zagier公式,就可以將其與L'(1,E)聯系起來。另外,BSD猜想對E_D成立。特別的,r_D0當且僅當L(1,E_D)=0。假定弱BSD猜想成立,則(1)理論上我們能夠判定D是否為同余數;(2)Tunnell定理給出在有限步內決定D是否為同余數的算法;(3)可以證明D \equiv 5,6,7(\mod 8)時r_D為奇數,故這樣的D均為同余數。“

劉廷波思索了片刻,滿意地點了點頭,過了一會兒,他又問道:“你這里說,L(s,E)在s=1處展開的泰勒系數和E的Tate-Shafarevich群的階數成正比,你是怎么得出這樣的結論的?還有這里,E(Q)(Mordell-Weil群)有自然的交換群結構,你前面根據Mordell定理進一步斷言E(Q)是有限生成的:E(Q)=\Bbb Z^r \oplus T,此處撓群T是某個有限Abel群,r稱為E的秩。我們對T的了解是完全的:Mazur決定了所有15種可能的T。那么R呢?你這里是不是缺少了對R的有效刻畫?“

龐學林道:“基于Eichler, Shimura在模橢圓曲線方面的工作以及新近證明的Taniyama–Shimura猜想(模定理),現在知道L(s,E)可解析延拓到整個復平面并且相應的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L(s,E)在s=1處零點的階數m。在模定理已獲證明的情況下,已知BSD猜想對m=0.1成立,故L(s,E)在s=1處展開的泰勒系數和E的Tate-Shafarevich群的階數成正比,更進一步的話,又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”

劉廷波沉吟了半晌,豎起大拇指道:“你從同余數問題上間接證明了BSD的弱猜想,再由此擴展成廣義BSD猜想,這種辦法真是絕了!”

……

接著,劉廷波與龐學林一問一答,幾乎每一個問題,龐學林都能不假思索地給出答案。

時間一分一秒過去,就連王秀芳做好了晚飯,上來想要叫他們吃飯,也被龐學林與劉廷波之間的問答所吸引,看了半天后,王秀芳悄悄地退出了書房,不去打攪他們。

一直到晚上十點,劉廷波才徹底將這篇論文徹底審閱完畢,兩人之間的問答也隨之結束。

一旁的龐紹安和姚建中雖然跟不上兩人的思路,但情緒也始終處于亢奮狀態。

他們看得出來,在這一問一答中,一個世界級的難題,正在從龐學林手中徐徐解開。

這種親眼見證一個世界級數學難題慢慢展露真顏的過程,讓在場的所有人都興奮不已。

龐紹安看著劉廷波道:“小劉,小林的證明怎么樣,你覺得他成功了嗎?”

劉廷波道:“龐教授,我不敢說小龐百分之百證明了BSD猜想,對這篇論文,我有八九成把握。小龐,你看這樣如何,你這篇論文才上傳arXiv不久,我們等過一段時間,等德利涅、法爾廷斯這些大佬相繼表態,我再給你在江大安排一場學術報告會,到時候應該能吸引到全世界頂級數學家與會。這段時間,你暫時不用上課了,安心為報告會做準備,PPT最好做得詳細一點。“

龐學林笑道:“劉院長,上課倒沒什么問題,反正距離正式開課還有幾天時間,我每周也就一、三、五有課,給本科生上課,對我而言反而是一種放松。”

劉廷波想了想道:“行,那我就不勉強你了,哈哈,小龐這次多謝你了,剛回母校,就給母校先上了這樣一份大禮。”

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